Jilid 2 BAB 2 Distribusi Teoretis

BAHAN PRESENTASI 

STATISTIKA JILID I

KELOMPOK 4"PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA"

2016

DOSEN PENGAMPU  : DARWISON,MT

Referensi :

J. Supranto,M.A. , 2008, "Statistika : Teori dan Aplikasi", Jilid 2, Erlangga, Jakarta.

Materi(html), program, video dapat di download

STATISTIKA JILID 2 BAB 2 (dropbox)

STATISTIKA JILID 2 BAB 2 (google drive)

Tujuan Belajar   

* Menjelaskan arti beberapa jenis distribusi leoretis seperli distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hipergeometrik, distribusi multinomial, distribusi normal, distribusi kai-kuadrat, distribusi F, don distribusi I.

    * Memahami aplikasi berbagai jenis distribusi tersebut dalam menyelesaikan berbagai permasalahan

   DEFINISI

    Distribusi teoritis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat keputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam membuat keputusan, dan sangat berguna sebagai dasar pembuatan ramalan (forecasting/prediction) berdasarkan informasi yang terbatas atau pertimbangan-pertimbangan teooritis, dan berguna pula untuk menghitung probalitas terjadinya suatu kejadian. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatu variabel biasanya mengikuti suatu distribusi teoritis tertentu, dan apabila sudah diketahui jenis distribusinya, kita dengan mudah dapat mengetahui besarnya nilai probalitas terjadinya kejadian tersebut.

   Misalnya : berapa probabilitas bahwa seorang calon gubernur DKI Jakarta akan terpilih untuk menggantikan gubernur yang lama, berapa besarnya probabilitas bahwa barang yang Anda beli merupakan barang rusak, berapa probabilitasnya bahwa produksi padi akan mencapai hasil antara 15,5 - 17,5 juta ton tahun depan dan lain sebagainya.

     DISTRIBUSI BINOMIAL

   Pada umumnya suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen Binomial apabila memenuhi 4 syarat sebagai berikut.

1. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial).
2. Setiap eksperimen mempunyai 2 hasil yang dikategorikan menjadi "sukses" dan "gagal". Dalam aplikasinya, harus kategori apa yang disebut sukses tersebut.
3. Probabilitas sukses nilainya sama pada setiap eksperimen.
4. Eksperimen tersebut harus bebas (independent) satu sama lain, artinya eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen hasil eksperimen lainnya.

    Dalam distribusi probabilitas Binomial, dengan n percobaan, berlaku rumus berikut.

      Apabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu x sukses dan (n - x) gagal, maka banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil x setiap kali dapat dihitung berdasarkan rumus berkut.

    Masing-masing probabilitas pada distribusi Binomial dihitung sebagai berikut.

    Rata-rata dan Varians Distribusi Binomial

    Kita mengetahui bahwa untuk mencari rata-rata, kita menggunakan rumus

    Sedangkan untuk menentukan varians dari distribusi binomial, kita menggunakan rumus

   Jadi, varians dari distribusi binomial adalah npq. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk variabel X yang mengikuti distribusi binomial berlaku rumus berikut.

     DISTRIBUSI POISSON

     Distribusi poisson yaitu pengembangan satu bentuk distribusi binomial yang mampu mengakulasikan distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses (p) sangat kecil dan jumlah eksperimen (n) sangat besar. Distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu. Sebagai contoh, banyaknya dering telepon dalam satu jam di suatu kantor, banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporan, banyaknya bakteri dalam air yang bersih, banyaknya presiden meninggal karena kecelakaan lalu lintas. Distribusi poisson digunakan untuk menghitung probabilitas suatu kejadian yang jarang terjadi. Rumus untuk menyelesaikan distribusi Poisson adalah sebgai berikut.

   Karakteristik dan Proses Distribusi Poisson 

  Pada contoh distribusi kendaraan yang melalui jalan bebas hambatan Jagorawi pada jam-jam sibuk seperti ini

1. Rata-rata hitung kendaraan yang lewat pada jam-jam sibuk dapat diketahui dari data lalu lintas terdahulu.
2. Apabila jam-jam sibuk kita bagi dalam detik, maka akan diperoleh :

a . Kemungkinan secara tepat sebuah kendaraan akan lewat setiap satu detik, dan begitu seterusnya pada selang satu detik.

b . Kemungkinan dua atau lebih kendaraan akan lewat setiap satu detik (jumlah ini kecil sekali) sehingga kita anggap sebagi nilai nol.

c . Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tertentu tidak ada hubungannya dengan banyaknya kendaraan yang lewat pada setiap detik saat jam-jam sibuk.

d . Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tidak bergantung terhadap banyaknya kendaraan yang lewat pada detik yang lain.

   Oleh karena itu, secara umum kondisi di atas dapat terjadi pula pada setiap proses. Apabila kondisi di atas ditemui dalam suatu kasus maka kita dapat menggunakan rumus distribusi Poisson.

   Mengitung Probabilitas dengan Distribusi Poisson

  Apabila X (huruf besar) dianggap mewakili suatu variabel sembarang dan merupakan bilangan bulat, maka kejadian x dalam distribusi Poisson dapat dihitung sebagai berikut.

   Rata-rata dan Varians, Distribusi Poisson

    Dapat dibuktikan bahwa untuk distribusi Poisson,

   DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK   

  Perbedaan antara distribusi hipergeomerik dengan binomial adalah bahwa pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen (bebas). Artinya, antara percobaan yang satu dengan yang lainnya saling berkait. Selain itu probabilitas "SUKSES" berubah (tidak sama) dari percobaan yang satu ke percobaan lainnya. Notasi-notasi yang biasanya digunakan dalam distribusi hipergeometrik adalah sebagai berikut : r : menyatakan jumlah unit/elemen dalam populasi berukuran N yang dikategorikan atau diberi label "SUKSES" N - r : menyatakan jumlah unit/elemen dalam populasi diberi label "GAGAL" n : ukuran sampel yang diambil dari populasi secara acak tanpa pengambilan (without replacement) x : jumlah unit/elemen berlabel "SUKSES" di antara n unti / elemen Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh x sukses dari r sukses dalam populasi, dan n - x gagal dari N - r gagal. Jadi, fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebgai berikut.

   Perhatikan bahwa terdapat dua persyaratan yang harus dipenuhi oleh sebuah distribusi Hipergeometrik :

1. Percobaan diambil dari suatu populasi yang terbatas, dan percobaan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement).
2. Ukuran sampel n harus lebih besar daripada 5% dari populasi N (5% dari N). Dari rumus 2.9 di atas, perhatikan bahwa

   DISTRIBUSI MULTINOMIAL

  Dalam distribusi mutinomial, sebuah percobaan akan menghasilkan beberapa kejadian (lebih dari 2) yang saling meniadakan / saling lepas (mutually exclusive).

   Fungsi Distribusi Multinomial

 

   DISTRIBUSI NORMAL

   Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu, misalnya tinggi badan, berat badan, skor IQ, jumlah curah hujan, isi botol Coca-cola, hasil ujian, dan sebagainya. 
  

   Kurva Normal

  Suatu variabel acak kontinu X, yang memiliki distribusi berbentuk lonceng seperti yang diperlihatkan dalam Peraga 2.2, disebut variabel acak normal. Fungsi kepadatan probabilitas normal dapat dituliskan sebagai berikut.

   Perlu diketahui di sini bahwa rata-rata dan varians distribusi normal adalah sebagai berikut.

   







Fungsi distribusi atau distribusi kumulatif dari fungsi normal adalah sebagai berikut.

   







Distribusi Normal Baku (Standar)
  Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku (standar) adalah dengan cara mengurangi nilai-nilai variabel X dengan rata-rata dan membanginya dengan standar deviasi sehingga diperoleh variabel baru Z.

    



Variabel normal baku Z mempunyai rata-rata = 0 dan standar deviasi = 1.

  




 DISTRIBUSI KAI-KUADRAT (X kuadrat = Chi Square)

   Distribusi kai-kuadrat sangat berguna sebagai kriteria untuk pengujian hipotesis mengenai varians dan juga untuk uji ketepatan penerapan suatu fungsi (test goodness of fit) apabila digunakan untuk data hasil observasi atau data empiris. Dengan demikian, kita dapat menentukan apakah distribusi pendugaan berdasarkan sampel hampir sama atau mendekati distribusi teoritis, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa populasi dari mana sampel itu kita pilih mempunyai distribusi yang kita maksud (misalnya, suatu populasi mempunyai distribusi Binomial, Poisson, atau Normal)

  







Bentuk kurva kai-kuadrat sangat dipengaruhi oleh besar-kecilnya nilai derajat kebebesan. Makin kecil nilai derajat kebebasan, bentuk kurvanya makin menceng ke kanan dan makin besar nilai derajat kebebasan bentuk kurvanya makin mendekati bentuk fungsi normal. Kai-kuadrat merupakan fungsi kontinu dan nilainya tidak pernah negatif. Nilai rata-ratanya makin meningkat kalau nilai derajat kebebasan juga makin meningkat.

   Untuk v > 100, distribusi kai-kuadrat mendekati distribusi normal, di mana variabel Z sebagai variabel normal baku dapat diperoleh dengan cara berikut.

   




Cara Membaca Tabel X kuadrat

    Dalam tabel, derajat kebebasan sering diberi simbol v, r, atau n dan sering disingkat d.o.f atau d.f. Dalam membaca tabel kai-kuadrat, agar diperhatikan simbol (notasi) di bagian atas yang digunakan dalam tabel tersebut. Tabel Kai-Kuadrat memuat nilai X kuadarat, dan bukan nilai probabilitas seperti halnya tabel distribusi normal.

   


DISTRIBUSI F

  Distribusi F memungkinkan ahli ekonomi untuk menguji asumsi mengenai tepatnya fungsi produksi, fungsi permintaan dan fungsi konsumsi untuk diterapkan terhadap data empiris atau data hasil observasi; memungkinkan ahli pemasaran untuk menguji pendapatnya bahwa harga beras sama di beberapa pasar di Jakarta; memungkinkan ahli riset pertanian untuk menguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan pengaruh yang berarti dari berbagai varietas dan lain sebagainya.

  
Distribusi F ini ditemukan oleh R.A. Fisher pada awal tahun 1920 dan berguna sekali bagi para "research worker" untuk menguji hipotesis mengenai suatu parameter dari beberapa populasi (lebih dari 2). Di dalam praktek, seringkali diperlukan nilai F sebagai batas bawah. Untuk itu, perlu diperhatikan bahwa kebalikan dari F juga merupakan F, namun dengan derajat kebebasan yang ditukar.

   DISTRIBUSI t

  Distribusi t selain digunakan untuk menguji suatu hipotesis juga untuk membuat pendugaan interval (interval estimate). Biasanaya distribusi t digunakan untuk menguji hipotesis mengenai nilai parameter, maksimal 2 populasi (jika lebih dari 2, harus digunakan F), dan dari sampel yang kecil (small sample size). Distribusi t dapat digunakan oleh pejabat perbankan; oleh seorang ahli senam hamil; oleh seorang ahli pemasaran ; oleh seorang ahli ekonomi; oleh pejabat perpajakan; oleh pejabat pemerintah dan lain sebagainya:

   Artinya, fungsi mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar v.

Contoh2.4 menggunakan SPSS 

Contoh2.4 menggunakan Matlab

Soal Latihan 1 menggunakan SPSS dan Excel

Soal Latihan 1 menggunakan C++

Soal Latihan 3 menggunakan Excel 

Soal Latihan 3 menggunakan Matlab